Κεφάλαιο 9
Γεωδαισιακές καμπύλες

Σύνοψη
Ως γνωστόν οι ευθείες γραμμές παίζουν καθοριστικό ρόλο στη γεωμετρία του επιπέδου. Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να ορίσουμε εκείνες τις καμπύλες σε μια επιφάνεια, οι οποίες θα έχουν τον αντίστοιχο ρόλο των ευθειών στο επίπεδο. Στο κεφάλαιο αυτό δίνουμε τον ορισμό της γεωδαισιακής καμπύλης και της γεωδαισιακής καμπυλότητας. Η εξεύρεση γεωδαισιακών ανάγεται σε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων, γενικά δύσκολο στην επίλυσή του. Το Θεώρημα Clairaut δίνει μια μέθοδο εύρεσης γεωδαισιακών σε επιφάνειες εκ περιστροφής. Επίσης, δίνουμε χαρακτηρισμό των γεωδαισικών ως κρίσιμα σημεία του συναρτησοειδούς ενέργειας και ορίζουμε την εκθετική απεικόνιση σε μια επιφάνεια. Για περισσότερες πληροφορίες προτείνουμε τα βιβλία [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8].

Προαπαιτούμενη γνώση
Διαφορικός Λογισμός μιας και πολλών μεταβλητών, Γραμμική Άλγεβρα, Διαφορικές Εξισώσεις.

ϒπάρχουν (τουλάχιστον) δύο τρόποι χαρακτηρισμού των ευθειών (ή πιο γενικά ευθυγράμμων τμημάτων) στο σύνολο όλων των επίπεδων καμπυλών: ο πρώτος είναι γεωμετρικός (ολικός) και ο δεύτερος είναι αναλυτικός (τοπικός). ΄Ενα ευθύγραμμο τμήμα είναι η ελάχιστη απόσταση μεταξύ δύο σταθερών σημείων του επιπέδου (γεωμετρική ή ολική περιγραφή). Ταυτόχρονα, είναι εκείνη η καμπύλη της οποίας το διάνυσμα ταχύτητας είναι σταθερό, υπό την έννοια ότι η διεύθυνσή του είναι σταθερή ή ότι παραμένει παράλληλο με τον εαυτό του (αναλυτική ή τοπική περιγραφή).

Ο πρώτος τρόπος χαρακτηρισμού (γεωμετρικός - ολικός) δεν είναι ο πλέον ενδεδειγμένος, προκειμένου να γενικευθεί στις επιφάνειες. Ο λόγος είναι ότι, όπως θα δούμε, καμπύλες που ελαχιστοποιούν το μήκος μεταξύ δύο σημείων σε μια επιφάνεια μπορεί να μην υπάρχουν καθόλου. Επιπλέον, ακόμα και αν υπάρχουν μπορεί αυτές να μην είναι μοναδικές.

Ο δεύτερος χαρακτηρισμός (αναλυτικός - τοπικός) θα δούμε ότι είναι πιο πρόσφορος, προκειμένου να γενικευθεί σε μια επιφάνεια, αλλά σίγουρα απαιτεί να αντιμετωπίσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα με μια διαφορετική οπτική από αυτή που το γνωρίζαμε από τα σχολικά μαθήματα γεωμετρίας. Η προσέγγιση αυτή απαιτεί την έννοια της παραλληλίας κατά μήκος μιας καμπύλης (βλ. Κεφάλαιο 8)

΄Εστω M μια κανονική επιφάνεια του ℝ³ και έστω γ : I → M μια καμπύλη της M με παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου, τέτοια ώστε γ(0) = p ∈ M. ΄Εχουμε δει ότι το διάνυσμα (0) της δεύτερης παραγώγου ("επιτάχυνση") στο σημείο p αναλύεται ως

Ορισμός 9.1: ΄Εστω M μια κανονική επιφάνεια του ℝ³. Μια καμπύλη γ :→ M (με παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου) στην M ονομάζεται γεωδαισιακή (geodesic), εάν η εφαπτομενική συνιστώσα της δεύτερης παραγώγου (t) μηδενίζεται, δηλαδή ισχύει

(9.1)

για κάθε t ∈ I.

Η σχέση (9.1) ισοδυναμεί με το ότι για κάθε t ∈ I, είτε το διάνυσμα (t) της επιτάχυνσης είναι κάθετο στον T_pM, δηλαδή παράλληλο στο μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα της επιφάνειας, είτε (t) = 0. Ισοδύναμα, η γ είναι μια γεωδαισιακή εάν και μόνο εάν το εφαπτόμενο διάνυσμα (t) είναι παράλληλο κατά μήκος της γ, δηλαδή

Παρατηρήσεις.
1) Η σχέση (9.1) ισοδυναμεί με το ότι το διάνυσμα ταχύτητας (t) είναι παράλληλο κατά μήκος της γ, αλλά όπως εξηγήσαμε στην εισαγωγή του κεφαλαίου δεν θα αναπτύξουμε προς το παρόν την έννοια αυτή.

2) Η έννοια της γεωδαισιακής έχει την εξής φυσική ερμηνεία. Η τροχιά γ(t) ενός σωματιδίου, το οποίο κινείται σε μια επιφάνεια και στο οποίο δεν δρα καμμιά δύναμη παρά μόνο αυτή η οποία κρατά το σωματίδιο στην επιφάνεια (κάθετη δύναμη), είναι μια γεωδαισιακή. Πράγματι, από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα είναι F(t) = k(t) και η F είναι κάθετη στον εφαπτόμενο χώρο T_pM, συνεπώς το διάνυσμα (t) είναι κάθετο στον T_pM άρα η τροχιά γ(t) είναι μια γεωδαισιακή.

Παράδειγμα 9.1: Θεωρούμε τη μοναδιαία σφαίρα S², p ∈ S² και Z ∈ T_pS² ένα μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα στο p. Επειδή = 0¹, το σύνολο {p,Z} αποτελεί μια ορθοκανονική βάση ενός επιπέδου του ℝ³ (διερχόμενο από την αρχή των αξόνων), το οποίο τέμνει την σφαίρα κατά έναν μέγιστο κύκλο. Μια παραμέτρηση του κύκλου αυτού είναι η γ : ℝ → S²

Τότε προκύπτει άμεσα ότι (s) = -γ(s) για κάθε s ∈ ℝ, συνεπώς ^tan = 0 (γιατί;). ΄Αρα ο μέγιστος αυτός κύκλος είναι μια γεωδαισιακή της σφαίρας που διέρχεται από το σημείο γ(0) = p. Το ερώτημα που τίθεται αμέσως εδώ είναι αν υπάρχουν άλλες γεωδαισιακές στην σφαίρα. Αυτό θα απαντηθεί στη συνέχεια.

Απόδειξη. Προκύπτει άμεσα από τον εξής υπολογισμό:

▄

Από την παραπάνω πρόταση ουσιαστικά προκύπτει (κάτι που χρήζει αποδείξεως) ότι μια αναπαραμέτρηση μιας γεωδαισιακής καμπύλης γ, η οποία να είναι μοναδιαίας ταχύτητας, είναι γεωδαισιακή. ΄Αρα μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι γεωδαισιακές έχουν μοναδιαία ταχύτητα.

Πριν προχωρήσουμε, θα εισαγάγουμε την έννοια της γεωδαισιακής καμπυλότητας μιας επιφανειακής καμπύλης και θα αποδείξουμε ότι μια καμπύλη γ : I ⊂ ℝ → M είναι γεωδαισιακή εάν και μόνο εάν η γεωδαισιακή καμπυλότητα αυτής είναι μηδέν.

9.1 Γεωδαισιακή καμπυλότητα

Γενικά το σχήμα μιας επιφάνειας επηρεάζει την καμπυλότητα των επιφανειακών καμπυλών. Συνεπώς, η κύρτωση μιας επιφάνειας μπορεί να μελετηθεί μέσω της καμπυλότητας των καμπυλών που βρίσκονται επάνω σε αυτή.

΄Εστω γ : I ⊂ ℝ → M μια καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας. Τότε το διάνυσμα (s) είναι μοναδιαίο και εφαπτόμενο στην M. ΄Αρα (s) ⊥ N(γ(s)), οπότε τα διανύσματα (s),N(γ(s)) και N(γ(s)) ×(s) είναι κάθετα μεταξύ τους και μοναδιαία. Το διάνυσμα N(γ(s)) ×(s) ονομάζεται γεωδαισιακή κάθετος και συμβολίζεται με n_g. Επειδή η γ είναι μοναδιαίας ταχύτητας, το (s) είναι κάθετο στο (s), οπότε το (s) είναι γραμμικός συνδυασμός των N(γ(s)) και n_g:

(9.2)

όπου k_n(Z) = είναι η κάθετη καμπυλότητα της M. Ο αριθμός κ_g(0) ονομάζεται γεωδαισιακή καμπυλότητα της γ, ειδικότερα

Ορισμός 9.2: ΄Εστω M μια κανονική προσανατολισμένη επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M → S² και έστω γ : I → M μια καμπύλη στην M με παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου. Η γεωδαισιακή καμπυλότητα (geodesic curvature) k_g : I → ℝ της γ ορίζεται ως

Απόδειξη. ΄Εχουμε κ_g(s) = ⟨N ×,⟩ και N = . Επομένως

Επειδή η καμπύλη γ βρίσκεται πάνω στην επιφάνεια M με τοπική παραμέτρηση X : U ⊂ ℝ² → M, θα ικανοποιεί την εξίσωση γ(s) = X(u(s),υ(s)). Επομένως θα είναι

(9.4)

και

Από τις σχέσεις (9.4) και (9.5) έχουμε

Αν τώρα λάβουμε υπόψη μας τους τύπους για τα σύμβολα του Christoffel πρώτου είδους από το Κεφάλαιο 7, τότε οι δύο τελευταίες σχέσεις γράφονται:

(9.8)

(9.9)

Η σχέση (9.3) λόγω των (9.6), (9.7), (9.8) και (9.9) γίνεται

(9.10)

Η σχέση (9.10) μπορεί να γίνει απλούστερη, αν χρησιμοποιήσουμε τα σύμβολα του Christoffel δευτέρου είδους. Πράγματι, αν αναπτύξουμε την παραπάνω ορίζουσα, την οποία ας συμβολίσουμε με Δ, έχουμε

Αν τώρα διαιρέσουμε και τα δύο μέλη αυτής της σχέσης με EG-F² > 0 και λάβουμε υπόψη μας τις εκφράσεις για τα σύμβολα του Christoffel δευτέρου είδους (βλ. Κεφάλαιο 7), έχουμε

Αντικαθιστώντας την παραπάνω σχέση στην σχέση (9.10), προκύπτει ο ακόλουθος τύπος για τη γεωδαισιακή καμπυλότητα

(9.11)

Από την σχέση αυτή βλέπουμε ότι η γεωδαισιακή καμπυλότητα εξαρτάται από τα θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης, τις παραγώγους αυτών ως προς u,υ, αφού τα σύμβολα Γ_ij^k,i,j,k = 1,2 έχουν τέτοια εξάρτηση, και τέλος, από τις παραγώγους των παραμέτρων u,υ ως προς την παράμετρο s και το θεώρημα έχει αποδειχθεί. ▄

Από τον τύπο (9.11) προκύπτουν, ως ειδικές περιπτώσεις, οι γεωδαισιακές καμπυλότητες (κ_g(s))_u και (κ_g(s))_υ των παραμετρικών γραμμών υ = σταθερό, u = σταθερό, στο τυχαίο σημείο αυτών:

Παρατηρήσεις.
1) Οι παραπάνω τύποι είναι δυνατόν να εκφραστούν συναρτήσει της γωνίας φ των παραμετρικών γραμμών υ = σταθερό, u = σταθερό, ως εξής:

2) ΄Οταν οι παραμετρικές γραμμές της επιφάνειας M είναι ορθογώνιες, δηλαδή F = 0, τότε

3) Αν η επιφανειακή καμπύλη γ : I ⊂ ℝ → M έχει τυχαία παράμετρο t, τότε η γεωδαισιακή καμπυλότητα αυτής δίνεται από τον τύπο:

(9.15)

΄Εχοντας υπόψη τις σχέσεις (9.11) και (9.15), εύκολα συνάγεται ότι το πρόβλημα της εύρεσης γεωδαισιακών σε μια επιφάνεια ανάγεται στην επίλυση του παρακάτω συστήματος διαφορικών εξισώσεων:

Πρόταση 9.3: Οι παραμετρικές γραμμές υ = σταθερό μιας επιφάνειας M με τοπική παραμέτρηση X : U ⊂ ℝ² → M, X = X(u,υ) είναι γεωδαισιακές αυτής, εάν και μόνο εάν ισχύουν οι σχέσεις

Απόδειξη. Επειδή οι καμπύλες υ = σταθερό είναι γεωδαισιακές της επιφάνειας M, θα έχουμε

(9.18)

Από τη δεύτερη εξίσωση των διαφορικών εξισώσεων (9.16) έχουμε Γ₁₁² = 0 ή ισοδύναμα

(9.19)

Η πρώτη εξίσωση των διαφορικών εξισώσεων (9.16) λόγω των (9.18) γίνεται

οπότε τελικά έχουμε

(9.20)

Δεδομένου όμως ότι Γ₁₁¹ = , η σχέση (9.20) γίνεται:

(9.21)

Αν λοιπόν είναι F = 0, τότε από την (9.19) έχουμε ότι E_υ = 0, δηλαδή E = E(u). Αν όμως F≠0, τότε η (9.21) ανάγεται στην (9.19) και η πρόταση έχει αποδειχθεί. ▄

Πρόταση 9.4: ΄Εστω M μια προσανατολισμένη κανονική επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M → S² και έστω γ : I → M μια καμπύλη στην M με παραμέτρηση κατά μήκος τόξου. ΄Εστω k : I → ℝ η καμπυλότητα της γ ως καμπύλης στον ℝ³ και έστω k_n,k_g : I → ℝ η κάθετη και η γεωδαισιακή καμπυλότητα αντίστοιχα. Τότε ισχύει η σχέση

Απόδειξη. Τα διανύσματα N(γ(s)) και N(γ(s)) ×(s) είναι μοναδιαία και κάθετα μεταξύ τους, οπότε από τη σχέση (9.2) έχουμε

όπου κ = ∥∥ η καμπυλότητα της γ. ▄

Μια κάθετη τομή (normal section) της M είναι η τομή C της M με ένα επίπεδο Π, τέτοιο ώστε το Π να είναι κάθετο στο εφαπτόμενο επίπεδο της M σε κάθε σημείο της C. Αυτό προκύπτει από το Θεώρημα Meusnier (βλ. Κεφάλαιο 5).

Σχήμα 9.1: Κάθετη τομή.

Παράδειγμα 9.6: ΄Εστω γ = (r,0,z) : I → ℝ³ μια λεία καμπύλη στο επίπεδο xz, τέτοια ώστε r(s) > 0 και ṙ(s)² + ż(s)² = 1 για κάθε s ∈ I. Τότε η απεικόνιση X : I × ℝ → ℝ³

αποτελεί παραμέτρηση μιας επιφάνειας εκ περιστροφής M. Ο εφαπτόμενος χώρος σε ένα σημείο X(u,υ) ∈ M παράγεται από τα διανύσματα Διατηρώντας το υ ∈ ℝ σταθερό, η καμπύλη γ₁ : I → M με τύπο αποτελεί μια παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου ενός μεσημβρινού (meridian) της M. Εύκολα βλέπουμε ότι = = 0, δηλαδή ⊥ span{X_u,X_υ}, οπότε ()^tan = 0, άρα η γ₁ : I → M είναι μια γεωδαισιακή της M. Παρόμοια, διατηρώντας το u ∈ ℝ σταθερό (έστω u = u₀), η καμπύλη γ₂ : I → M με τιμή αποτελεί μια παραμέτρηση ενός παραλλήλου (parallel) της M. Με έναν απλό υπολογισμό προκύπτει ότι Αυτό σημαίνει ότι η καμπύλη γ₂ : I → M είναι μια γεωδαισιακή της M εάν και μόνο εάν ṙ(u₀) = 0, δηλαδή το u₀ είναι ένα κρίσιμο σημείο της συνάρτησης r : I → ℝ. Και σε αυτό το παράδειγμα, τίθεται το ερώτημα αν η M έχει και άλλες γεωδαισιακές (βλ. στη συνέχεια το Θεώρημα Clairaut).

Από τα προηγούμενα παραδείγματα φαίνεται ότι το πρόβλημα εύρεσης των γεωδαισιακών καμπυλών σε μια επιφάνεια δεν είναι ιδιαιτέρως εύκολο. Στο επόμενο θεώρημα θα δούμε ότι το πρόβλημα αυτό ισοδυναμεί με την επίλυση ενός μη γραμμικού συστήματος συνήθων διαφορικών εξισώσεων, το οποίο όμως και αυτό στην πλήρη γενικότητά του δεν είναι πάντα εύκολο να επιλυθεί.

Θεώρημα 9.2: ΄Εστω M μια κανονική επιφάνεια και X : U ⊂ ℝ² → M μια τοπική παραμέτρηση της M με θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης

Αν γ : I → M είναι μια καμπύλη της επιφάνειας M κλάσης C² τότε το τμήμα είναι μια γεωδαισιακή της M εάν και μόνο εάν ισχύουν οι εξής διαφορικές εξισώσεις:

όπου Edu² + 2Fdudυ + Gdυ² είναι η πρώτη θεμελιώδης μορφή του X.

Οι διαφορικές εξισώσεις (9.22) ονομάζονται γεωδαισιακές εξισώσεις.

Απόδειξη. Επειδή το σύνολο {X_u,X_υ} αποτελεί βάση του εφαπτόμενου επιπέδου του T_X(u,υ)M, η γ είναι γεωδαισιακή εάν και μόνο εάν η επιτάχυνση είναι ορθογώνια στο X_u και στο X_υ. Επειδή = X_u + X_υ, αυτό είναι ισοδύναμο με τις εξισώσεις

Θα δείξουμε ότι αυτό το ζεύγος των εξισώσεων είναι ισοδύναμο με τις γεωδαισιακές εξισώσεις. Η αριστερή από τις εξίσωσεις (9.23) είναι ισοδύναμη με την

Επιπλέον, επειδή E_u = ⟨X_u,X_u⟩_u = ⟨X_uu,X_u⟩+ ⟨X_u,X_uu⟩ = 2⟨X_u,X_uu⟩, θα είναι ⟨X_u,X_uu⟩ = E_u και παρόμοια ⟨X_u,X_uυ⟩ = G_u. Τέλος, είναι ότι ⟨X_u,X_uυ⟩+ ⟨X_υ,X_uu⟩ = ⟨X_u,X_υ⟩_u = F_u. Αντικαθιστώντας τις τελευταίες σχέσεις στην (9.24), παίρνουμε

Από εδώ φαίνεται ότι η πρώτη εξίσωση (9.23) είναι ισοδύναμη με την πρώτη γεωδαισιακή εξίσωση (9.22). Παρόμοια αποδεικνύεται η ισοδυναμία των δύο άλλων εξισώσεων. ▄

Παράδειγμα 9.7: Θα βρούμε τις γεωδαισιακές καμπύλες του ορθού κυκλικού κυλίνδρου ακτίνας 1 με τοπική παραμέτρηση X : U ⊂ ℝ² → M ⊂ ℝ³, X(u,υ) = (cosu,sinu,υ), όπου U = [0,2π) × ℝ, χρησιμοποιώντας τις γεωδαισιακές εξισώσεις. Τα θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης είναι E = 1,F = 0 και G = 1. Αντικαθιστώντας στις εξισώσεις (9.22), έχουμε

όπου α,β,c,d ∈ ℝ. ΄Αρα η καμπύλη γ : I ⊂ ℝ → M με εξίσωση είναι γεωδαισιακή της επιφάνειας M. Αν α = 0, η παραπάνω είναι μια ευθεία παράλληλη στον άξονα των z, ένω, αν α≠0, τότε η γεωδαισιακή είναι μια κυκλική έλικα.

Στο ερώτημα κατά πόσον από κάθε σημείο μιας επιφάνειας διέρχεται μια γεωδαισιακή καμπύλη με ῾῾δοσμένη αρχική ταχύτητα᾿᾿ απαντά το παρακάτω θεώρημα.

Θεώρημα 9.3: ΄Εστω M μια κανονική επιφάνεια, p ∈ M και Z ∈ T_pM. Τότε υπάρχει μοναδική γεωδαισιακή

τοπικά ορισμένη που ικανοποιεί τις συνθήκες γ(0) = p και (0) = Z.

Η απόδειξη του θεωρήματος αυτού ουσιαστικά βασίζεται στο θεμελιώδες θεώρημα των Picard - Lindelöf σχετικά με την ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης ενός προβλήματος διαφορικών εξισώσεων αρχικών τιμών.

Οι γεωδαισιακές διατηρούνται μέσω τοπικών ισομετριών. Αφήνουμε την απόδειξη της παρακάτω πρότασης ως άσκηση.

Σχήμα 9.2: Γεωδαισιακή στον κύλινδρο.

Εφαρμογή. Θα χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω πρόταση για να βρούμε όλες τις γεωδαισιακές του ορθού κυκλικού κυλίνδρου M = S¹ × I, I = [0,1].

Γνωρίζουμε ήδη ότι οι κύκλοι x² + y² = 1 είναι γεωδαισιακές του M ως κάθετες τομές. Θεωρούμε την απεικόνιση X : ℝ² → M με X(u,υ) = (cosu,sinu,υ) από το επίπεδο xy στον κύλινδρο. Η απεικόνιση αυτή είναι μια τοπική ισομετρία (γιατί;)

Γνωρίζουμε ότι οι γεωδαισιακές καμπύλες του επιπέδου είναι οι ευθείες. Παίρνουμε τις εικόνες μέσω της X των ευθειών y = mx + c που δεν είναι παράλληλες με τον άξονα x. Αυτές έχουν τη μορφή γ(u) = (cosu,sinu,mu + c) (όπου θέσαμε x = u,y = υ), οι οποίες είναι κυκλικές έλικες βήματος 2π|m|. Για m = 0 παίρνουμε τις ήδη γνωστές κυκλικές γεωδαισιακές. Τέλος, μια άλλη κλάση γεωδαισιακών προκύπτει αν πάρουμε τις εικόνες μέσω της X των ευθειών του επιπέδου που είναι παράλληλες με τον άξονα y. Αυτές είναι οι γεννήτορες του κυλίνδρου.

Παράδειγμα 9.8: Θα βρούμε τις γεωδαισιακές της σφαίρας S². Θεωρούμε την παραμέτρηση της σφαίρας με γεωγραφικές συντεταγμένες

(θ = γεωγραφικό πλάτος, φ = γεωγραφικό μήκος). Γνωρίζουμε ότι η πρώτη θεμελιώδης μορφή της σφαίρας για την παραμέτρηση αυτή είναι ds² = dθ² + cos²θdφ², άρα E = 1,F = 0,G = cos²θ. Θα αναζητήσουμε γεωδαισιακές γ(t) = Xθ(t),φ(t) μοναδιαίας ταχύτητας ∥(t)∥ = 1. Η σχέση αυτή δίνει ∥X_θ + X_φ∥ = 1, από όπου μετά από πράξεις παίρνουμε ότι

(9.25)

Από τη δεύτερη διαφορική εξίσωση των γεωδαισιακών του Θεωρήματος 9.2 προκύπτει ότι

για μια σταθερά Ω, συνεπώς ² = . Αν Ω = 0, τότε ² = 0, δηλαδή η φ είναι σταθερή, οπότε η γ είναι τμήμα ενός μεσημβρινού. ΄Εστω ότι Ω≠0, άρα ≠0. Τότε η συνθήκη (9.25) δίνει ² = 1 -² cos²θ = 1 -. ΄Αρα ή από όπου παίρνουμε Συνεπώς,

Θέτουμε u = tanθ, άρα du = dθ. Συνεπώς, προκύπτει τελικά ότι άρα άρα tanθ = ±sin(φ - φ₀). Από αυτό προκύπτει ότι οι συντεταγμένες x = cosθ cosφ, y = cosθ sinφ, z = sinθ της γ(t) ικανοποιούν την εξίσωση z = ax + by, όπου a = ±sinφ₀ και b = ±cosφ₀. Με άλλα λόγια η γ προκύπτει από την τομή της σφαίρας S² με ένα επίπεδο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Σε κάθε περίπτωση λοιπόν, η γ είναι τμήμα ενός μέγιστου κύκλου.

9.2 Το Θεώρημα Clairaut

Οι γεωδαισιακές εξισώσεις για επιφάνειες εκ περιστροφής είναι συνήθως δύσκολο να επιλυθούν ακριβώς, ωστόσο μπορούν να χρησιμοποιηθούν, ώστε να έχουμε μια καλή ποσοτική κατανόηση των γεωδαισιακών για τέτοιου είδους επιφάνειες.

΄Εστω X(u,υ) = (f(u)cosυ,f(u)sinυ,g(u)) παραμέτρηση μιας εκ περιστροφής επιφάνειας, για την οποία υποθέτουμε ότι f > 0 και ² + ² = 1. Από την (9.22) βλέπουμε ότι οι γεωδαισιακές εξισώσεις είναι οι

Με βάση τα προηγούμενα αποδεικνύεται η εξής πρόταση (άσκηση).

Η παραπάνω πρόταση δίνει κάποιες από τις γεωδαισιακές της επιφάνειας εκ περιστροφής. ΄Ενας εναλλακτικός τρόπος εντοπισμού γεωδαισιακών για τέτοιου είδους επιφάνειες είναι χρησιμοποιώντας το παρακάτω ενδιαφέρον θεώρημα.

Απόδειξη.

Σχήμα 9.3: Εκ περιστροφής επιφάνεια και το θεώρημα Clairaut.

΄Εστω M μια επιφάνεια εκ περιστροφής με την παραμέτρηση X(u,υ) = (f(u) cosυ,f(u) sinυ,g(u)), όπου ρ = f(u). Επειδή ²(u) + ġ²(u) = 1, τα διανύσματα = X_u και _υ ≡ = ρ^-1X _υ είναι μοναδιαία και εφαπτόμενα στους παράλληλους και στους μεσημβρινούς αντίστοιχα. Επειδή F = ⟨X_u,_υ⟩ = 0, τα διανύσματα αυτά είναι και κάθετα. ϒποθέτουμε ότι η καμπύλη γ(t) = X(u(t),υ(t)) είναι μοναδιαίας ταχύτητας. Τότε το εφαπτόμενο διάνυσμα (t) = X_u + X_υ θα γράφεται ως γραμμικώς συνδυασμός ως προς τη βάση {X_u,_υ} με τον εξής τρόπο:

Από την παραπάνω ισότητα παίρνουμε Επειδή τα X_u και X_υ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, θα είναι

(9.27)

(9.28)

Η σχέση (9.28) δίνει ρ² = ρsinφ, οπότε από τη δεύτερη εξίσωση της σχέσης (9.26), προκύπτει ότι ρsinφ = Ω, Ω ∈ ℝ.

Για το αντίστροφο, εάν το ρsinφ είναι μια σταθερά Ω πάνω σε μια μοναδιαίας ταχύτητας καμπύλη γ της επιφάνειας M, από τα προηγούμενα προκύπτει εύκολα ότι ικανοποιείται η δεύτερη εξίσωση της σχέσης (9.26). Πρέπει να αποδείξουμε ότι ικανοποιείται και η πρώτη εξίσωση της (9.26). Είναι

(9.29)

Επειδή η καμπύλη γ(t) = X(u(t),υ(t)) είναι μοναδιαίας ταχύτητας θα έχουμε

Παραγωγίζοντας την προηγούμενη σχέση ως προς t και μετά από πράξεις έχουμε: Εάν η ποσότητα στην παραπάνω παρένθεση δεν μηδενίζεται σε κάποιο σημείο της καμπύλης, έστω γ(t₀) = X(u(t₀),υ(t₀)), θα υπάρχει ένας αριθμός ϵ > 0, τέτοιος ώστε η ποσότητα να μην μηδενίζεται και για |t - t₀| < ϵ. Αλλά τότε, = 0 όταν |t - t₀| < ϵ. Επομένως, η γ ταυτίζεται με τον παράλληλο u = u₀ όταν |t-t₀| < ϵ, πράγμα αντίθετο με την υπόθεση. ΄Αρα, η ποσότητα μέσα στην παρένθεση πρέπει να μηδενίζεται παντού πάνω στην γ, δηλαδή το οποίο δείχνει ότι η πρώτη εξίσωση στην (9.26) ικανοποείται. ▄

Σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα για τις επιφάνειες εκ περιστροφής ισχύει ότι

• (1)  Αν Ω = 0, τότε υ =σταθερό και οι γεωδαισιακές είναι οι μεσημβρινοί.
• (2)  Αν Ω > 0, τότε από την εξίσωση ² = 1 - βλέπουμε ότι οι γεωδαισιακές βρίσκονται στο μέρος της επιφάνειας M που απέχει απόσταση 0 ≤ Ω ≤ ρ από τον άξονα περιστροφής.

9.3 Γεωδαισιακές μέσω λογισμού μεταβολών

Θα συζητήσουμε τη βασική ιδιότητα των γεωδαισιακών που είναι ότι τοπικά ελαχιστοποιούν την απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε μια επιφάνεια. Η άποψη αυτή γενικεύει την ιδιότητα των ευθειών στο επίπεδο ως καμπύλες που ελαχιστοποιούν την Ευκλείδεια απόσταση μεταξύ δύο σημείων. Για την προσέγγιση αυτή θα χρησιμοποιήσουμε στοιχεία λογισμού μεταβολών, μια από τις πιο παλαιές περιοχές των μαθηματικών.

Το παρακάτω θεώρημα αναφέρει ότι οι γεωδαισιακές καμπύλες σε μια επιφάνεια χαρακτηρίζονται ως κρίσιμα σημεία του συναρτησοειδούς μήκους τα οποία, όπως αποδεικνύεται, είναι τα ίδια με αυτά του συναρτησοειδούς ενέργειας.

Απόδειξη. ΄Εστω Φ : (-ϵ,ϵ) × I → M με (t,s)Φ(t,s) μια γνήσια μεταβολή της γ : I → M. Τότε

Επειδή η μεταβολή είναι γνήσια, θα ισχύει Επιπλέον, επειδή προκύπτει ότι Το τελευταίο ολοκλήρωμα μηδενίζεται για κάθε γνήσια κύμανση Φ της γ, εάν και μόνο εάν η γ είναι μια γεωδαισιακή. ▄

Θα συζητήσουμε τώρα τις ελαχιστικές ιδιότητες των γεωδαισιακών. Θα αρχίσουμε με μερικές ενδιαφέρουσες παρατηρήσεις.

1. Αν η γ : I → M είναι μια καμπύλη με ελάχιστο μήκος που ενώνει δύο σημεία γ(a),γ(b) ∈ M, τότε το συναρτησοειδές L_[a,b] ελαχιστοποιείται για t = 0, άρα συνεπώς η γ είναι μια γεωδαισιακή της επιφάνειας M.
2. Αν η γ : I → M είναι μια γεωδαισιακή που ενώνει τα γ(a),γ(b), τότε η γ είναι μεν ένα κρίσιμο σημείο του συναρτησοειδούς L_[a,b], αλλά δεν είναι απαραίτητα μια καμπύλη ελάχιστου μήκους μεταξύ των γ(a),γ(b). Πάρτε για παράδειγμα την σφαίρα S² και τα σημεία της γ(a),γ(b) επί του ισημερινού γ, ο οποίος είναι μια γεωδαισιακή, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το τμήμα της γ που ελαχιστοποιεί την απόσταση μεταξύ των γ(a),γ(b) είναι το μικρό τμήμα της γ μεταξύ των γ(a),γ(b) και όχι το μεγάλο.
   
   

   Σχήμα 9.4: Ελάχιστη απόσταση.
3. Μια καμπύλη ελάχιστου μήκους μεταξύ δύο σημείων μιας επιφάνειας M μπορεί και να μην υπάρχει καθόλου. Πάρτε για παράδειγμα M = ℝ² \{(0,0)}⊂ ℝ³. Τότε δεν υπάρχει καμπύλη ελάχιστου μήκους, που να ενώνει τα σημεία p = (-1,0) και q = (1,0). Παρόλα αυτά, αποδεικνύεται το εξής: αν δύο σημεία p,q σε μια κλειστή επιφάνεια M μπορούν να ενωθούν με μια καμπύλη στην M, τότε υπάρχει καμπύλη ελάχιστου μήκους που να τα ενώνει. Για παράδειγμα, το επίπεδο Π ⊂ ℝ³ και η σφαίρα S² είναι κλειστές επιφάνειες, ενώ η M = ℝ² \{(0,0)}⊂ ℝ³ δεν είναι κλειστή.

9.4 Η εκθετική απεικόνιση

Θα προχωρήσουμε τώρα σε κάποια ελαφρώς πιο εξειδικευμένα θέματα. ΄Εστω M μια κανονική επιφάνεια, p ∈ M και έστω

Ορισμός 9.5: Η εκθετική απεικόνιση (exponetial map) exp_p : B_ϵp(0) ⊂ T_pM → M στο σημείο p ορίζεται ως

Παρατηρήσεις.
1) Ο όρος ῾ἑκθετική απεικόνιση᾿᾿ εξηγείται καλύτερα μελετώντας διαφορική γεωμετρία σε μεγαλύτερες διαστάσεις, δηλαδή σε πολλαπλότητες. Εκεί είναι δυνατόν να οριστεί κατά φυσικό τρόπο η έννοια της γεωδαισιακής σε συμπαγείς ομάδες πινάκων, όπως για παράδειγμα η ορθογώνια ομάδα O(n). Τότε αποδεικνύεται ότι η αντίστοιχη εκθετική απεικόνιση στο ουδέτερο σημείο I ∈ O(n) (ταυτοτικός πίνακας) είναι η συνηθισμένη εκθετική απεικόνιση πινάκων, δηλαδή exp_I(A) = e^A, A ∈ T_IO(n).

2) Αν W ∈ T_p¹M, τότε η ευθεία λ_W : (-ϵ_p,ϵ_p) → T_pM, λ_W (t) = tW απεικονίζεται μέσω της εκθετικής απεικόνισης στη γεωδαισιακή γ_W , δηλαδή τοπικά ισχύει γ_W = exp_p ∘λ_W . Συνεπώς, τοπικά η εκθετική απεικόνιση απεικονίζει ευθείες σε γεωδαισιακές.

Αποδεικνύεται ότι η απεικόνιση exp_p είναι διαφορίσιμη. Επιπλέον, ισχύει το εξής:

Απόδειξη. ΄Εστω υ ∈ T_pM. Χρησιμοποιώντας τη παραπάνω Παρατήρηση 2) υπολογίζουμε:

▄

Συνεπώς, από το θεώρημα αντίστροφης απεικόνισης υπάρχει r_p ∈ ℝ⁺, έτσι ώστε αν U_p = B_rp(0) και V _p = exp_p(U_p), τότε η απεικόνιση exp_p|_Up : U_p → V _p είναι μια αμφιδιαφόριση, η οποία παραμετρικοποιεί το ανοικτό υποσύνολο V _p της επιφάνειας M. Το σύνολο αυτό (χάρτης της M) έχει ιδαίτερη σημασία στη διαφορική γεωμετρία και ονομάζεται κανονική περιοχή (normal neighborhood) του p ∈ M.

Παράδειγμα 9.9: ΄Εστω S² η μοναδιαία σφαίρα του ℝ³ και p = (1,0,0) ο βόρειος πόλος. Τότε ο μοναδιαίος κύκλος στον εφαπτόμενο χώρο T_pS² δίνεται ως

Η εκθετική απεικόνιση exp_p : T_pS² → S² της S² στο p δίνεται από την σχέση Είναι σαφές ότι η εκθετική απεικόνιση περιορισμένη στην ανοικτή μπάλα είναι 1 - 1 , συνεπώς η γεωδαισιακή γ(s) = exp_p(s(0,cosθ,sinθ)) αποτελεί την ελάχιστη απόσταση μεταξύ των σημείων p και γ(r), για κάθε r < π. Προτρέπουμε τον αναγνώστη να κάνει ένα σχήμα του παραδείγματος αυτού.

Ερχόμαστε τώρα στο κεντρικό αποτέλεσμα του κεφαλαίου αυτού.

Απόδειξη. ΄Εστω p ∈ M, U = B_r(0) ⊂ T_pM και V = exp_p(U), έτσι ώστε ο περιορισμός

της εκθετικής απεικόνισης στο p να είναι αμφιδιαφόριση. Ορίζουμε μια μετρική ds² στην περιοχή U ως για κάθε Z,W διανυσματικά πεδία στο U. Με την μετρική αυτή η απεικόνιση φ γίνεται ισομετρία. Από τον τρόπο ορισμού της εκθετικής απεικόνισης προκύπτει ότι οι γεωδαισιακές στο U που διέρχονται από το σημείο 0 = φ^-1(p) είναι ακριβώς οι ευθείες ΄Εστω q ∈ B_r(0)\{0} και λ_q : [0,1] → B_r(0) η καμπύλη λ_q(t) = tq. Θεωρούμε σ : [0,1] → U οποιαδήποτε καμπύλη του U, τέτοια ώστε σ(0) = 0, σ(1) = q. Ορίζουμε δύο διανυσματικά πεδία X και X_rad κατά μήκος της σ ως εξής: X : tσ(t) και Τότε προκύπτει ότι και από τις οποίες παίρνουμε ότι ∥X_rad(t)∥≥∥X(t)∥. Συνεπώς

Η παραπάνω ανισότητα αποδεικνύει ότι η καμπύλη λ_q είναι η καμπύλη ελάχιστου μήκους που ενώνει τα σημεία p και q. ▄

9.5 Λυμένα παραδείγματα

Παράδειγμα 9.10: Να εξετασθεί αν οι καμπύλες που ορίζονται από τις εξισώσεις u = αt²,υ = αt³, α ∈ ℝ, είναι γεωδαισιακές της επιφάνειας της οποίας η πρώτη θεμελιώδης μορφή είναι

Λύση

(9.30)

Είναι όμως,

(9.31)

(9.32)

οπότε τα σύμβολα Christoffel θα είναι

(9.33)

Το πρώτο μέλος της σχέσης (9.30) λόγω των (9.32) και (9.33) γίνεται

Λύση

(9.34)

Επομένως η δεύτερη από τις εξισώσεις (9.16) γίνεται:

(9.35)

Αν θέσουμε T(s) το εφαπτόμενο διάνυσμα της γεωδαισιακής στο τυχαίο σημείο αυτής, θα έχουμε

Λύση

Θα βρούμε τώρα τις γεωδαισιακές καμπύλες του υπερβολικού επιπέδου. ΄Εστω γ = (υ,u) : I → ℍ² μια γεωδαισιακή με παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου. Τότε = (,) και

b) Αν R≠0 τότε από τις παραπάνω σχέσεις παίρνουμε ότι u⁴R² + ² = u² και ισοδύναμα ότι = = ±u. Αυτό σημαίνει ότι

Σχήμα 9.5: Το υπερβολικό επίπεδο.

Λύση

9.6 Ασκήσεις

1. ΄Εστω γ(t) μια τυχαία γεωδαισιακή καμπύλη σε μια επιφάνεια και έστω ∥∥ = λ. Αποδείξτε ότι η καμπύλη = γ(t∕λ) είναι μια αναπαραμέτρηση της γ με μοναδιαία ταχύτητα, η οποία είναι και αυτή γεωδαισιακή καμπύλη.

2. Αποδείξτε ότι η γεωδαισιακή καμπυλότητα ικανοποιεί την σχέση

3. ΄Εστω T² ⊂ ℝ³ ο δακτύλιος (torus) ο οποίος προκύπτει με περιστροφή του κύκλου με κέντρο (0,2,0) και ακτίνα 1 του επιπέδου yz, περί τον άξονα z.

• (α)  Αποδείξτε ότι η απεικόνιση X : (-π∕2,3π∕2) × (0,2π) → ℝ³ με τύπο είναι μια τοπική παραμέτρηση του T².
• (β)  ϒπολογίστε τη γεωδαισιακή καμπυλότητα του παραλλήλου X_u : (0,2π) → T με ως συνάρτηση του u ∈ (-π∕2,3π∕2).

4. Να βρεθούν οι γεωδαισιακές καμπύλες του ορθού κυκλικού κώνου, που ορίζεται από την εξίσωση

5. Αποδείξτε την Πρόταση 9.5.

6. Αποδείξτε την Πρόταση 9.6.

7. Αν X = X(u,υ) είναι μια παραμέτρηση μιας επιφάνειας M, τέτοια ώστε E = E(u),F = 0 και G = G(u), τότε

• (1)  Οι u-παραμετρικές καμπύλες (υ =σταθερό) είναι γεωδαισιακές.
• (2)  Οι υ-παραμετρικές καμπύλες (u =σταθερό) είναι γεωδαισιακές εάν και μόνα εάν G_u(u₀) = 0.
• (3)  Μια καμπύλη γ(u) = X(u,υ(u)) είναι γεωδαισιακή της επιφάνειας εάν και μόνο εάν

8. Μια επιφάνεια με παραμέτρηση X = X(u,υ) λέγεται επιφάνεια του Liouville αν E = G = U(u) + V (υ) και F = 0. Αν γ είναι μια γεωδαισιακή της επιφάνειας με εξίσωση γ(s) = X(u(s),υ(s)), να δειχθεί ότι

9. ΄Εστω M μια επιφάνεια του ℝ³ με τοπική παραμέτρηση X = X(u,υ), τέτοια ώστε F = 0 και E = 1. Αποδείξτε ότι οι u-παραμετρικές καμπύλες είναι γεωδαισιακές.

10. ΄Εστω X : U ⊂ ℝ² → M μια παραμέτρηση μιας επιφάνειας M, τέτοια ώστε = 0 και = . Δείξτε ότι οι υ-παραμετρικές καμπύλες είναι γεωδαισιακές της επιφάνειας.

11. Βρείτε όλες τις γεωδαισιακές καμπύλες των επιφανειών του ℝ³ οι οποίες ορίζονται από τις εξισώσεις x² + 2y² = 2, x² + y² - z² = 1 και x² + y² = z

12. Αν η πρώτη θεμελιώδης μορφή μιας επιφάνειας M είναι η I = du² + Gdυ², δείξτε ότι η εξίσωση των γεωδαισιακών αυτής, ανάγεται στη μορφή = -, όπου θ είναι η γωνία κατά την οποία οι γεωδαισιακές τέμνουν τις καμπύλες υ =σταθερό.

13. ΄Εστω γ(s) μια καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας του ελικοειδούς με παραμέτρηση X(u,υ) = (ucosυ,usinυ,υ). Δείξτε ότι

14. Θεωρούμε την κανονική επιφάνεια M με τοπική παραμέτρηση X : ℝ² → ℝ³

15. Βρείτε μερικές γεωδαισιακές καμπύλες οι οποίες να διέρχονται από το σημείο (0,0,0), της επιφάνειας

16. Αναζητήστε στην βιβλιογραφία την έννοια των γεωδαισιακών συντεταγμένων και του Λήμματος του Gauss.

Βιβλιογραφία